std::sph_legendre, std::sph_legendref, std::sph_legendrel

 

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bit_ceil (C++20)

bit_floor (C++20)

bit_width (C++20)

rotl (C++20)

rotr (C++20)

countl_zero (C++20)

countl_one (C++20)

countr_zero (C++20)

countr_one (C++20)

popcount (C++20)

endian (C++20)

 

数学特殊函数

assoc_laguerreassoc_laguerrefassoc_laguerrel  assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel betabetafbetal comp_ellint_1comp_ellint_1fcomp_ellint_1l comp_ellint_2comp_ellint_2fcomp_ellint_2l comp_ellint_3comp_ellint_3fcomp_ellint_3l cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il

cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl  cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl cyl_neumanncyl_neumannfcyl_neumannl ellint_1ellint_1fellint_1l ellint_2ellint_2fellint_2l ellint_3ellint_3fellint_3l expintexpintfexpintl

hermitehermitefhermitel laguerrelaguerreflaguerrel legendrelegendreflegendrel riemann_zetariemann_zetafriemann_zetal sph_besselsph_besselfsph_bessell sph_legendresph_legendrefsph_legendrel sph_neumannsph_neumannfsph_neumannl

 

在标头 <cmath> 定义
	(1)
float       sph_legendre ( unsigned l, unsigned m, float theta ); double      sph_legendre ( unsigned l, unsigned m, double theta ); long double sph_legendre ( unsigned l, unsigned m, long double theta );			(C++17 起) (C++23 前)
/* 浮点类型 */ sph_legendre( unsigned l, unsigned m, /* 浮点类型 */ theta );			(C++23 起)
float       sph_legendref( unsigned l, unsigned m, float theta );		(2)	(C++17 起)
long double sph_legendrel( unsigned l, unsigned m, long double theta );		(3)	(C++17 起)
额外重载
在标头 <cmath> 定义
template< class Integer > double      sph_legendre ( unsigned l, unsigned m, Integer theta );		(A)	(C++17 起)

1-3) 计算 l 次、m 阶和极角 theta 的球关联勒让德函数。标准库提供所有以无 cv 限定的浮点类型作为参数 theta 的类型的 std::sph_legendre 重载。 (C++23 起)

A) 为所有整数类型提供额外重载，将它们当做 double。

参数

l	-	次数
m	-	阶数
theta	-	极角，以弧度度量

返回值

如果没有发生错误，那么返回 l、m 和 theta 的球关联勒让德函数（即 ϕ = 0 下的球谐函数）的值，其中球谐函数定义为 Ym
l(theta,ϕ) = (-1)m
[

(2l+1)(l-m)!

4π(l+m)!

]1/2
Pm
l(cos(theta))eimϕ
，其中 Pm
l(x) 是 std::assoc_legendre(l, m, x)) 且 |m|≤l。

注意此函数定义包含 Condon-Shortley 相位项 (-1)m
，因为以 std::assoc_legendre 定义的 Pm
l 忽略了它。

错误处理

可能报告 math_errhandling 中指定的错误。

• 如果参数是 NaN，那么返回 NaN 且不报告定义域错误
• 如果 l≥128，那么行为由实现定义

注意

不支持 C++17，但支持 ISO 29124:2010 的实现在定义了 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 为至少 201003L 的值，且用户在包含任何标准库头文件前定义了 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ 时也会提供此函数。

不支持 ISO 29124:2010 但支持 TR 19768:2007 (TR1) 的实现也会在标头 tr1/cmath 及命名空间 std::tr1 中提供此函数。

球谐函数的一种实现参考 boost.math，且它在以设为零的参数 phi 调用时规约到此函数。

额外重载不需要以 (A) 的形式提供。它们只需要能够对它们的整数类型实参 num 确保 std::sph_legendre(int_num1, int_num2, num) 和 std::sph_legendre(int_num1, int_num2, static_cast<double>(num)) 的效果相同。

示例

运行此代码

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <numbers>
 
int main()
{
    // 对于 l=3, m=0 的点检查
    double x = 1.2345;
    std::cout << "Y_3^0(" << x << ") = " << std::sph_legendre(3, 0, x) << '\n';
 
    // 准确解
    std::cout << "准确解 = "
              << 0.25 * std::sqrt(7 / std::numbers::pi)
                  * (5 * std::pow(std::cos(x), 3) - 3 * std::cos(x))
              << '\n';
}

输出：

Y_3^0(1.2345) = -0.302387
准确解 = -0.302387

参阅

assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel (C++17)(C++17)(C++17)

连带勒让德多项式 (函数)

外部链接

Weisstein, Eric W. “球谐”来自 MathWorld--A Wolfram Web Resource。